Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點．
①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當A、B兩點在橢圓上運動，且滿足∠APQ=∠BPQ時，直線AB的斜率是否為定值，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓中的相關定義和方程，求解a，b．
（Ⅱ）設直線方程，將直線方程和橢圓方程聯立，通過消元，轉化為一元二次方程去解決．
解答：解：（Ⅰ）設C方程為
由已知b=2，離心率 …（3分）
得a=4，所以，橢圓C的方程為…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點P、Q的坐標為P（2，3）．Q（2，-3），則|PQ|=6，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為，代入，
得x²+tx+t²-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根與系數的關系得，
四邊形APBQ的面積…（6分）
故，當t=0時，…（7分）
②∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，
則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）與，
聯立解得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，．…（9分）
同理PB的直線方程y-3=-k（x-2），可得
所以，…（11分）==，
所以直線AB的斜率為定…（13分）
點評：本題主要考查了橢圓的方程和性質，以及直線與橢圓的位置關系，運算量較大，綜合性較強．