Question

【題目】已知函數f（x）= 為偶函數
（1）求實數a的值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ，判斷λ與E的關系；
（3）當x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，若函數f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求實數m，n值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 為偶函數．

∴f（﹣x）=f（x）

即 =

∴2（a+1）x=0，

∵x為非零實數，

∴a+1=0，即a=﹣1

（2）解：由（Ⅰ）得

∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }

而 = = = =

∴λ∈E

（3）解：∵ ＞0恒成立

∴ 在 上為增函數

又∵函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，

∴f（ ）=1﹣m2=2﹣3m，且f（ ）=1﹣n2=2﹣3n，

又∵ ，m＞0，n＞0

∴m＞n＞0

解得m= ，n=

【解析】（Ⅰ）根據函數 為偶函數f（﹣x）=f（x），構造關于a的方程組，可得a值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函數f（x）的解析式，將x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用對數的運算性質求出λ，進而根據元素與集合的關系可得答案（Ⅲ）求出函數f（x）的導函數，判斷函數的單調性，進而根據函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，x∈ ，m＞0，n＞0構造關于m，n的方程組，進而得到m，n的值．
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．