Question

（本題滿分12分）
已知整數列滿足，，前項依次成等差數列，從第項起依次成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)求出所有的正整數，使得．

Answer 1

解：(1) 設數列前6項的公差為d，則a₅=－1+2d，a₆=－1+3d，d為整數.
又a₅，a₆，a₇成等比數列，所以(3d－1)²=4(2d－1)，
即  9d²－14d+5=0，得d ="1.                "                 …………………3分
當n≤6時，a_n =n－4，
由此a₅=1，a₆=2，數列從第5項起構成的等比數列的公比為2，
所以，當n≥5時，a_n =2^n-5.
故                            …………………6分
(2) 由（1）知，數列為：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
當m=1時等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
當m=3時等式成立，即－1+0+1=0； 
當m=2、4時等式不成立；                          …………………9分
當m≥5時，a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12，a_m +a_m+1+a_m+2=2^m-5(2³－1)=7×2^m-5，
7×2^m-5≠2^3m-12，
所以a_m +a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2 .                                            
故所求m= 1，或m=3．                            …………………12分

略