Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（I）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（II）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區間（2，3）上總存在極值？

Answer 1

分析：（I）求導數，利用導數的正負，可確定函數f（x）的單調區間；
（II）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求導函數，利用函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區間（2，3）上總存在極值，建立不等式組，即可求得m的取值范圍．

解答：解：求導數可得：f'（x）=

a

x

-a（a＞0）
（I）當a=1時，f′(x)=

1-x

x

，
令f'（x）＞0時，解得0＜x＜1，所以f（x）的單調遞增區間是（0，1）；
令f'（x）＜0時，解得x＞1，所以f（x）的單調遞減區間是（1，+∞）．
（II）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，所以f'（2）=1．
所以a=-2，∴f'（x）=

-2

x

+2． 
∴函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]=x³+x²[

m

2

+2-

2

x

]=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′(x)]在區間（2，3）上總存在極值，g'（0）=-2＜0
∴只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

∴-

37

3

＜m＜-9．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．