【題目】設函數
.
（1）若
是
的極大值點，求
的取值范圍；
（2）當
，
時，方程
（其中
）有唯一實數解，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由題意，求得函數的導數得到
，分類討論得到函數的單調性和極值，即可求解實數
的取值范圍；
（2）因為方程
有唯一實數解，即
有唯一實數解，設
，利用導數
，令
，得
，由此入手即可求解實數m的值．
（1）由題意，函數
的定義域為
，則導數為
由
，得
，∴
①若
，由
，得
.
當
時，
，此時單調遞增；
當
時，
，此時單調遞減.
所以是的極大值點
②若
，由，得，或
.
因為是的極大值點，所以
，解得
綜合①②：的取值范圍是
（2）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解
設，則
，
令，即.
因為
，
，所以
（舍去），
當
時，
，
在
上單調遞減，
當
時，
，在
單調遞增
當
時，，取最小值
則
，即
，
所以
，因為，所以
（*）
設函數
，
因為當時，
是增函數，所以
至多有一解
因為
，所以方程（*）的解為
，即
，解得
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，過點
向圓
引兩條切線
，
，切點為
，
，若點的坐標為
，則直線
的方程為____________；若為直線
上一動點，則直線經過定點__________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為響應黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經濟收入.紫甘薯對環境溫度要求較高，根據以往的經驗，隨著溫度的升高，其死亡株數成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數：
經計算： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，其中
分別為試驗數據中的溫度和死亡株數， 
.
（1）若用線性回歸模型，求
關于
的回歸方程
（結果精確到
）；
（2）若用非線性回歸模型求得
關于
的回歸方程為
，且相關指數為
.
（i）試與（1）中的回歸模型相比，用
說明哪種模型的擬合效果更好；
（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為
時該批紫甘薯死亡株數（結果取整數）.
附：對于一組數據
， 
，……， 
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為： 
；相關指數為： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國西部某省
級風景區內住著一個少數民族村，該村投資了
萬元修復和加強民俗文化基礎設施，據調查，修復好村民俗文化基礎設施后，任何一個月內（每月按
天計算）每天的旅游人數
與第
天近似地滿足
（千人），且參觀民俗文化村的游客人均消費
近似地滿足
（元）．
(1)求該村的第x天的旅游收入
,并求最低日收入為多少？（單位：千元，
，
）；
(2)若以最低日收入的
作為每一天的純收入計量依據，并以純收入的
稅率收回投資成本，試問該村在兩年內能否收回全部投資成本？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知坐標平面上動點
與兩個定點
， 
，且
.
（1）求點
的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中軌跡為
，過點
的直線
被
所截得的線段長度為8，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
、
是雙曲線
的兩個焦點，一條直線與雙曲線的右支相切，且分別交兩條漸近線于A、B.又設O為坐標原點，求證： （1）
； ⑵、、A、B四點在同一個圓上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題：①“
”是“存在
，使得
成立”的充分不必要條件；②“
”是“存在，使得
成立”的必要條件；③“
”是“不等式對一切恒成立”的充要條件. 其中所以真命題的序號是
A.③B.②③C.①②D.①③
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