Question

【題目】已知，函數.

（1）若有極小值且極小值為0，求的值；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）討論a的范圍，判斷f（x）的單調性，得出f（x）的極小值，從而列方程解出a的值；

（2）等價于，即，討論a的范圍，轉化為新函數的最值問題即可.

（1）

①若，則由解得，

當時，，遞減；當時，，遞增；

故當時，取極小值，令，得（舍去）

若，則由，解得

（i）若，即時，當，，遞增；

當,，遞增；故當當時，取極小值，

令，得（舍去）

（ii）若，即時，，遞增不存在極值；

（iii）若，即時，當時，，遞增；當時，，遞減；當時，，遞增；

故當時，取極小值，得滿足條件

故當有極小值且極小值為0時，.

（2）等價于，即（*）

當時，①式恒成立；當時，，故當時，①式恒成立；

以下求當時，不等式恒成立，且當時不等式恒成立時正數的取值范圍

令，以下求當，恒成立，且當，恒成立時正數的取值范圍

對求導，得，記

（i）當時，，，

故在上遞增，又，故，，

即當時，（*）式恒成立；

（ii）當時，，故的兩個零點即的兩個零點和，在區間上，，是減函數，

又，所以，當時①式不能恒成立.

綜上所述，所求的取值范圍是.