Question

如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點B(0,1)、且點A(a,0)(a≠0)是x軸上的動點,過點A作線段AB的垂線交y軸于點D,在直線AD上取點P,使AP=DA.

(1)求動點P的軌跡C的方程;

(2)點Q是直線y=-1上的一個動點,過點Q作軌跡C的兩條切線,切點分別為M、N,求證:QM⊥QN.

Answer 1

(1)解:設P(x,y)、D(0,m),

則由k_AB=,∴=.∴m=-a².則

當a≠0時,a=,代入得y=x².

a=0時,也符合上式.

∴P點軌跡C的方程為x²=4y.

(2)證明:設Q點坐標為(n,-1),過Q與C相切的直線為y+1=k(x-n),

x²=4kx-4kn-4,即x²-4kx+4kn+4=0.

Δ=16k²-4(4kn+4)=16k²-16kn-16=0.

∴k²-nk-1=0.∴k₁k₂=-1,即QM⊥QN成立.