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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.若不等式恒成立，則的最小值為_______.

【答案】

【解析】

求出，可得當時，，在 上為增函數，

從而是不可能恒成立的.，當時，由，得，此時函數單調遞增，由，得，此時函數單調遞減，可得出函數的最大值,從而得到，設，然后求導得出函數的最小值即可.

函數，其中為自然對數的底數

則，

當時，，在 上為增函數，

又當 時，所以是不可能恒成立的.

當時，由，得，此時函數單調遞增.

由，得，此時函數單調遞減.

所以

由不等式恒成立，即恒成立.

即恒成立，

所以

設，則

設，則

由得， ，此時函數單調遞增，

由得， ，此時函數單調遞減，

所以

又當時，，,當時，.

所以當 時，，單調遞減.

當 時，，單調遞增.

所以

所以的最小值為：.

故答案為：.

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