Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D是側棱的中點．
（I ）求證：平面ADC₁丄平面ACC₁A₁；
（II）求平面ADC₁與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析：（I）根據幾何體的結構特征得到線面的有關位置關系，即利用線線垂直證明線面垂直再利用直線在另一個平面內進而證明面面垂直．
（II）先由其中一個平面內的一點作另一個平面的垂線，作交線的垂線即作出二面角的平面角，再證明此角是所求交，然后利用解三角形的有關知識解決問題即可．

解答：解：（I）證明：設AC、A₁C₁的中點分別為N、N₁，連接NN1交AC₁于M，連接MD，則NN₁與CC₁平行而且相等，
由已知可得MN=BD，所以BDMN是矩形，
所以DM∥BN．
因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BN⊥AC，
所以BN⊥平面ACC₁A₁．
所以DM⊥平面ACC₁A₁，
因為DM?平面ADC₁，
所以平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．
（II）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以△ABC是△ADC₁在平面ABC內的射影．
設平面ADC1與平面ABC所成二面角（銳角）的大小等于θ，則cosθ=

S△ABC

S△ADC1

由已知得S△ABC=

3

4

a2，DM=BN=

3 a

2

，AC1=

5

a，
所以S△ADC1=

1

2

×AC1×DM=

15 a2

4

，
所以cosθ=

S△ABC

S△ADC1

=

5

5

，（θ為銳角）
所以θ=arccos

5

5

．
所以平面ADC₁與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arccos

5

5

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，根據特征得到線面垂直的有關結論，并且解決二面角的平面角．