Question

已知函數．

（I）判斷函數在上的單調性（為自然對數的底）；

（II）記為的導函數，若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I）若,當時，函數在上單調遞減，

           當時，函數在上單調遞增，

若,則,函數在上單調遞減.

（II） 。

【解析】本試題主要是考查了導數的在研究函數中的運用。判定函數單調區間，以及函數的極值問題的綜合運用

（1）由已知函數得到導函數，然后對于參數a分類討論得到其單調區間，注意討論的完備性。

（2）要是函數在給定區間存在極值，說明了導數值為零的點在該點左右兩側函數值異號，那么借助于概念分析求解。

解：（I）        …………1分

若,當時，函數在上單調遞減，

           當時，函數在上單調遞增，…………5分

若,則,函數在上單調遞減.                …………7分

（II） ，   ，  …………8分

方法一：函數在區間上存在極值

等價為關于方程在上有變號實根

……11分        在上單調遞減，在上單調遞增。

          …………14分

 當時，，不存在極值  ……15分

 方法二：   等價為關于方程在上有變號實根。

⑴   關于方程在上有兩個不相等實數根；

                       …………10分

⑵關于方程在上有一個實數根；

                    …………12分

時，的解為

 符合題意            …………13分

當時，的解為

均不符合題意  (舍)………14分    綜上所述，．………15分