Question

【題目】已知直線l：y=﹣x+3與橢圓C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一個公共點P（2，1）．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若直線l′：y=﹣x+b交C于A，B兩點，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（I）聯立直線l：y=﹣x+3與橢圓C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）， 可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，
由題意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即為9mn=m+n，
又P在橢圓上，可得4m+n=1，
解方程可得m= ，n= ，
即有橢圓方程為 =1；
（II）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯立直線y=b﹣x和橢圓方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，
判別式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，
x1+x2= ，x1x2= ，
y1+y2=2b﹣（x1+x2）= ，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2= ，
由PA⊥PB，即為 =（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）
=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1
= ﹣2 + ﹣ +5=0，
解得b=3或 ，代入判別式，成立．
則b=3或 ．
【解析】（I）聯立直線與橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式為0，再將P的坐標代入橢圓方程，解方程可得m，n，進而得到橢圓方程；（II）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯立直線y=b﹣x和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0，韋達定理，再由A，B在直線上，代入直線方程，由垂直的條件，運用向量的數量積為0，化簡整理，解方程可得b的值．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．