Question

已知定義域為R的函數是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在R上是增函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數是奇函數，
∴f（1）+f（-1）=0，可得，解之得a=2-----------（3分）
檢驗：a=2時，，
∴
∴f（x）+f（-x）=0對x∈R恒成立，即f（x）是奇函數．-----------（5分）
（2）證明：令t=2^x，則
設x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂
∵t=2^x在R上是增函數，∴0＜t₁＜t₂
當0＜t₁＜t₂時，==
∵0＜t₁＜t₂
∴t₁-t₂＜0，t₁+1＞0，t₂+1＞0
∴y₁＜y₂，可得f（x）在R上是增函數---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函數
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等價于f（mt²+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函數
∴對任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立，
化簡整理得：mt²-mt+2＞0對任意的t∈R恒成立
1°m=0時，不等式即為2＞0恒成立，符合題意；
2°m≠0時，有即0＜m＜8
綜上所述，可得實數m的取值范圍為0≤m＜8-------------（16分）
分析：（1）根據奇函數的定義，取x=1，得f（1）+f（-1）=0，解之得a=2，再經過檢驗可得當a=2時，f（x）+f（-x）=0對x∈R恒成立，所以f（x）是奇函數；
（2）令t=2^x，得，再用單調性的定義，證出當x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂時，y₁-y₂=，討論可得y₁＜y₂，所以f（x）在R上是增函數；
（3）因為f（x）是奇函數，并且在R上是增函數，所以原不等式對任意的t∈R恒成立，即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立，化簡整理得關于t的一元二次不等式，最后經過分類討論，可得實數m的取值范圍為0≤m＜8．
點評：本題以含有指數式的分式函數為例，考查了函數的單調性與奇偶性等簡單性質和一元二次不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．