Question

【題目】已知定義域為R的函數 是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數且0∈R，∴f（0）=0即

∴

又由f（1）=-f（-1）知 a=2

∴f（x）=

（2）解：證明設x1,x2∈（-∞,+∞）且x1<x2

·

∵y=2x在（-∞,+∞）上為增函數且x1<x2，∴

且y=2x>0恒成立，∴

∴f（x1）-f（x2）>0 即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（-∞,+∞）上為減函數

∵f（x）是奇函數f（x2-x）+f（2x2-t）<0等價于f（x2-x）<-f（2x2-t）=f（-2x2+t）

又∵f（x）是減函數，∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R，3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0，即t<

【解析】(1)利用奇函數的性質f(0)=0求出b的值，根據奇函數的定義即可求出a的值即可。(2)由題意根據函數單調性的定義可證出f（x）在（-∞,+∞）上為減函數，結合函數的奇偶性以及單調性得到關于x的一元二次不等式，利用一元二次不等式的性質求出t的取值范圍。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．