Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=

1

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和為B_n；
（3）設cn=tan(t＞0)，數列{c_n}的前n項和T_n，求

lim

n→∞

Tn+1

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）利用點在函數的圖象上，求出S_n，然后利用an=s_n-s_n-1，求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出bn=

1

an•an+1

，利用裂項法直接求解數列{b_n}的前n項和為B_n；
（3）通過cn=tan(t＞0)，判斷數列{c_n}是等比數列，求出它的前n項和T_n，然后求

lim

n→∞

Tn+1

Tn

的值．

解答：（本題滿分（14分），第（1）小題（5分），第（2）小題（5分），第（3）小題4分））
解：（1）因為點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上
所以Sn=n2+2nn∈N*------------------------（1分）
當n=1時，a₁=S₁=1+2=3
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1（*）
令n=1，a₁=2+1=3，也滿足（*）式-------------------（3分）
所以，數列{a_n}的通項公式是a_n=2n+1．------------------------（4分）
（2）bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)------------------------（6分）
∴Bn=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

---------------（8分）
（3）因為cn=t2n+1，所以

cn+1

cn

=t2，
則數列{c_n}成公比為等比數列t²的等比數列．
∵t＞0
當t=1時，T_n=n；t＞0，t≠1，Tn=

t3(1-t2n)

1-t2

；------------------------（10分）
當t=1時，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1
當t＞1時，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=t2
當0＜t＜1時，

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=1．
∴

lim

n→∞

Tn+1

Tn

=

1，0＜t≤1 t2，t＞1

-------------（14分）

點評：本題考查數列的極限，等差數列的通項公式，數列的求和的應用，考查轉化思想計算能力．