Question

20.甲方是一農場，乙方是一工廠.由于乙方生產需占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數關系x=2000.

若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）,

（Ⅰ）將乙方的年利潤w（元）表示為年產量t（噸）的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；

（Ⅱ）甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y=0.002t²（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？

Answer 1

20.本小題主要考查函數的概念，運用導數求函數最大值、最小值的方法，以及運用數學知識，建立簡單數學模型并解決實際問題的能力.

（Ⅰ）解法一：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為

w=2000－st.                                    

因為w=2000－s（）²=－s［－］²+，所以當

t=（）²時，w取得最大值.

所以乙方取得最大年利潤的年產量t=（）²（噸）

解法二：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為

w=2000－st.                                                 

由w′=－s=,令w′=0，得t=t₀=（）².

當t<t₀時，w′>0；當t>t₀時，w′<0，所以t=t₀時，w取得最大值.

因此乙方取得最大年利潤的年產量t₀=（）²（噸）

（Ⅱ）設甲方凈收入為v元，則v=st－0.002t².             

將t=（）²代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數關系式

v=－.                                              

又v′=－+=,令v′=0，得s=20.

當s<20時，v′>0;當s>20時，v′<0，所以s=20時，v取得最大值.

因此甲方向乙方要求賠付價格s=20（元/噸）時，獲最大凈收入

注：若將s=代入v的表達式求解，可參照上述標準給分.