Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，

∴a2+b2﹣c2=ab，

由余弦定理得，cosC= = ；

又∵C∈（0，π），

∴C= ；

（Ⅱ）由c=2，C= ，根據正弦定理得，

= = = = ，

∴a+b= （sinA+sinB）

= [sinA+sin（ ﹣A）]

=2 sinA+2cosA

=4sin（A+ ）；

又∵△ABC為銳角三角形，

∴ ，

解得 ＜A＜ ；

∴ ＜A+ ＜ ，

∴2 ＜4sin（A+ ）≤4，

綜上，a+b的取值范圍是（2 ，4]

【解析】（Ⅰ）化簡（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等變換化簡，根據題意求出A的取值范圍，從而求出a+b的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握余弦定理:;;．