Question

(本題滿分15分) 四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分別是線段CE，PB上的動點，且滿足＝＝λ∈(0，1)．

 

 

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值為．

 

Answer 1

【答案】

方法一：

(Ⅰ) 證明：如圖以點A為原點建立空間直角坐標系A－xyz，其中K為BC的中點，

 

 

不妨設PA＝2，則，，

，，，．

由，得

，，

，

設平面的法向量=(x，y，z)，則

，，

得 

可取=(，1，2)，于是

，故，又因為FG平面PDC，即//平面．

 

 (Ⅱ) 解：，，

設平面的法向量，則，，

可取，又為平面的法向量．

由，因為tan＝，cos＝，

所以，解得或(舍去)，

故．                         

方法二：

(Ⅰ) 證明：延長交于，連，．得平行四邊形，則// ，

 

 

所以．

又，則，

所以//．

因為平面，平面，

所以//平面．     …………6分

(Ⅱ)解：作FM于，作于，連．

則，為二面角的平面角．

，不妨設，則，，

由  得 ，即 ．

【解析】略