Question

某企業為更好地了解設備改造前后與生產合格品的關系，隨機抽取了100件產品進行分析，但由于工作人員不小心，丟失了部分數據：
設備改造效果分析列聯表

工作人員從設備改造前生產的產品中抽取兩件，合格品數為ξ，從設備改造后生產的產品中抽取兩件，合格品數為η，經計算得：P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
（1）填寫列聯表中缺少的數據；
（2）求出ξ與η的數學期望，并比較大小，請解釋你所得出結論的實際意義；
（3）能夠以97.5%的把握認為設備改造有效嗎？
參考數據：

Answer 1

分析：（1）工作人員從設備改造前生產的產品中抽取兩件，合格品數為ξ，從設備改造后生產的產品中抽取兩件，合格品數為η，根據所給的兩個變量取0時概率之間的關系，寫出關于x的方程，解方程即可，在再根據列聯表中數據的關系，得到結果．
（2）根據題意看出兩個變量可能取值，ξ可能取值是0，1，2，η的可能取值是0，1，2，結合變量對應的事件寫出兩組變量的分布列，算出期望，比較兩個期望值的大小，得到結論．
（3）根據列聯表所給的數據，代入求觀測值的公式，做出觀測值是4.76，同臨界值進行比較，4.76＜5.024，得到不能以97.5%的把握認為設備改造有效．

解答：解：（1）工作人員從設備改造前生產的產品中抽取兩件，合格品數為ξ，
從設備改造后生產的產品中抽取兩件，合格品數為η
∵P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
∴

C 2 20

C 2 50

=

38

9

C 2 x

C 2 50

，
∴x=10，y=50-10=40，M=20+10=30，N=30+40=70．
（2）由題意知ξ可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=

38

245

，
P（ξ=1）=

120

245

，
P（ξ=2）=

87

245

∴ξD的分布列是

∴E(ξ)=0×

38

245

+1×

38

245

+2×

87

245

=

294

245

由題意知η的可能取值是0，1，2
P（η=0）=

9

245

，
P（η=1）=

80

245

，
P（η=2）=

156

245

∴η的分布列是

∴E(η)=0×

9

245

+1×

80

245

+2×

156

245

=

392

245

∵E（ξ）＜E（η），
∴設備改造是有效的．
（3）k=

100(20×40-10×30)2

30×70×50×50

=4.76＜5.024，
∴不能以97.5%的把握認為設備改造有效．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立性檢驗，是一個統計和概率的綜合題，本題難易可以作為一個高考題目．