Question

【題目】如圖，四面體中， 平面， ， ， ， .

（Ⅰ）求四面體的四個面的面積中，最大的面積是多少？

（Ⅱ）證明：在線段上存在點，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易得， , , 均為直角三角形，且的面積最大，進而求解即可；

（2）在平面ABC內，過點B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM，可證得AC⊥平面MBN，從而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.

試題解析：

（1）由題設AB＝1，AC＝2，BC＝，

可得,所以,

由PA⊥平面ABC，BC、AB平面ABC,所以， ,

所以,

又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,

PB平面PAB,所以,

所以， , , 均為直角三角形，且的面積最大，

．

（2）證明：在平面ABC內，過點B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM．

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC．

由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．

又BM平面MBN，所以AC⊥BM．

因為與相似， ，

從而NC＝AC－AN＝．

由MN∥PA，得＝＝．