Question

【題目】已知．

（1）討論的單調性；

（2）若存在及唯一正整數，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是;(2) 的取值范圍是.

【解析】試題分析：

（1）求出函數的導函數，通過對導函數符號的討論可得函數的單調性．（2）由題意得函數在上的值域為．結合題意可將問題轉化為當時，滿足的正整數解只有1個．通過討論的單調性可得只需滿足，由此可得所求范圍．

試題解析：

（1）由題意知函數的定義域為．

因為，

所以，

令，則，

所以當時， 是增函數，

又，

故當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增．

所以上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由（1）知當時， 取得最小值，

又，

所以在上的值域為．

因為存在及唯一正整數，使得，

所以滿足的正整數解只有1個．

因為，

所以，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，即，

解得．

所以實數的取值范圍是．