Question

【題目】設橢圓：（）的右焦點為，短軸的一個端點到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個頂點，是橢圓上任意一點，若，求證：為定值；

（3）過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據橢圓焦點坐標求得，根據短軸端點到焦點的距離求得，由此求得，進而求得橢圓的標準方程.

（2）求得的坐標，設出點坐標，結合向量的坐標運算，由求得，也即求得點坐標，將其代入橢圓，化簡后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉化為邊長的比值，即.當直線斜率不存在時，根據橢圓的對稱性可知，不符合題意.當直線的斜率不存在時，設出直線的方程.代入橢圓方程，化簡后寫出韋達定理.由，求得，代入韋達定理，由此解方程求得的值，進而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標準方程為．

（2），，

設，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡得為定值．

（3）等價于，

當直線的斜率不存在時，，不合題意．

故直線的斜率存在，設：，

由消去，得，

設，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡得，解得．

所以，直線的方程為．