Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點，且直線恰好通過橢圓的右焦點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，經過點的直線與橢圓交于兩點，記與的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）先得，則，結合離心率及可得方程；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得，當直線的斜率存在時，設直線的方程為． ，與橢圓聯立得， ，利用韋達定理代入求解即可.

試題解析：

解：（1）不妨設，則，

又， ，聯立解得， ．

∴橢圓的標準方程為．

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為．

此時， ，

與的面積相等．

則．當直線的斜率存在時，

設直線的方程為． ，

設， ， ．

聯立，

化為： ，

， ， ，

與的面積相等．

則 ．

時， ．當且僅當時取等號，

∴的最大值為．