Question

【題目】設是實數，

（1）證明：f(x)是增函數；

（2）試確定的值，使f(x)為奇函數。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1

【解析】

（1）設x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，結合指數函數的單調性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的單調性且與a的值無關；

（2）根據題意，假設f（x）是奇函數，由奇函數的定義可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），對其變形，解可得a的值，即可得答案．

(1)證明：設x1、x2∈R且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，

又由y=2x在R上為增函數，則＞0，＞0，

由x1＜x2，可得﹣＜0，

則f（x1）﹣f（x2）＜0，

故f（x）為增函數，與a的值無關，

即對于任意a，f（x）在R為增函數；

（2）若f（x）為奇函數，且其定義域為R，

必有有f（﹣x）=﹣f（x），

即a﹣=﹣（a﹣），變形可得2a==2，

解可得，a=1，

即當a=1時，f（x）為奇函數．