Question

已知三棱錐S-ABC中，平面ASC⊥平面ABC，O、D分別為AC、AB的中點，AS=CS=CD=AD=．
（I）求證：平面ASC⊥平面BCS；
（II）求二面角A-SC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據幾何體的結構特征得到SO⊥AC，OD⊥AC，進而利用垂直共線得到BC⊥AC與SO⊥BC，可證明線面垂直，又因為垂線在另一個平面內所以可得面面垂直．
（II）建立坐標系分別求出兩個平面的法向量，結合向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而得到二面角的余弦值．
解答：解：（I）因為AS=CS=CD=AD=，O為AC的中點
所以SO⊥AC，OD⊥AC，
又D為AB的中點，所以OD∥BC，所以BC⊥AC．
又因為平面SAC⊥平面ABC，
所以SO⊥平面ABC，所以SO⊥BC．
故可得CB⊥平面SAC．
因為BC?平面BSC，
所以平面ASC⊥平面BSC．
（II）由（I）得SO⊥AC，SO⊥OD，AC⊥OD，所以分別以OA，OD，OS為軸建立如圖的空間直角坐標系O-xyz．

設AS=CS=CD=AD=2，則A（，0，0），D（0，，0），C（-，0，0），S（0，0，）
則．
設=（x，y，z）是平面CDS的法向量，
則即，
令x=-1得．
為平面ASC的法向量，設二面角A-SC-D為θ，
所以cosθ==
即所求角的余弦值為．
點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，有利于確定線面垂直的條件，也便于建立坐標系利用向量解決二面角的平面角問題．