Question

已知a∈R，a≠1，函數
（1）判斷函數在區間（-1，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（2）求函數在[1，4]上的最值．

Answer 1

解：（1）當a＞1時，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數f（x）為增函數；
當a＜1時，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數f（x）為減函數．
下面證明：
任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=
==，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
故當a＞1時，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數f（x）為增函數；
當a＜1時，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數f（x）為減函數．
（2）由（1）可知：當a＞1時，函數f（x）為增函數；當a＜1時，函數f（x）為減函數．
故當a＞1時，函數f（x）在[1，4]上的最小值為f（1）=，最大值為f（4）=；
當a＜1時，函數f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=，最小值為f（4）=．
分析：（1）任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）===，由此式展開討論，可得結果；
（2）利用（1）的結論，結合最值的定義，易得答案．
點評：本題為函數的簡單應用：（1）為定義法證明函數的單調性，（2）為利用（1）的結論來求最值，兩步均需注意分類討論．