Question

（本小題滿分12分）

        如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.

   （I）求出該幾何體的體積；

   （II）求證：EM∥平面ABC；

   （III）試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面？ 若存在，確定點N的位置；     若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解法一：由題意，Ea⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE//DC，AE=2，

DC=4，AB⊥AC，且AE=AC=2，

   （I）∵EA⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,

    ∴ab⊥平面acde ,                 …………2分

∴四棱錐b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面積S= 6

∴，

即所求幾何體的體積為4    ………………４分

   （II）證明：∵m為db的中點，取bc中點G，連接em,mG,aG，

∴ mG∥DC，且

∴ mG   ae，∴四邊形aGme為平行四邊形， ……6分

∴em∥aG, 又AG平面ABC  

AG平面ABC，

∴EM∥平面ABC.……8分

   （III）由（II）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD                10分

在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N,

∴MN⊥平面BDE  點n即為所求的點  ………………10分

∵∽

∴ 邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，

有MN⊥平面BDE.         …………12分

解法二：（I）（同解法一）  …………4分

   （II）由（I）知EA⊥AB，EA⊥AC，AB⊥AC。

∴以A為原點如圖建立空間直角坐標系A—xyz  ………5分

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

D（0，2，4），M（1，1，2），

  …………6分

顯然，為平面ABC的法向量，

且=0  …………7分

∴EM∥平面ABC.          ……8分

   （III）由（II）得，

設在棱DC上存在點，使MN⊥平面BDE，

則  …………9分

由  …………11分

∴在棱DC上存在點N（0，2，1），使MN⊥平面BDE.         …………12分