Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，斜率為 的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點P（2，1）在直線l的上方，若∠APB=90°，且直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求線段MN的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由橢圓的離心率e= = = ，則a2=4b2，

以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8，則2× ×2a×b=8，則ab=4，

解得：a=2 ，b= ，

則橢圓的標準方程為： ；

（2）

解：設直線l的方程y= x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，

△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜2，

x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，

則kPA= ，kPB= ，

則 kPA+kPB= + = ，

則（ x1+m﹣1）（x2﹣2）+（ x2+m﹣1）（x1﹣2），

=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1），

=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，

∴kPA+kPB=0，

由∠APB=90°，則kPA=1，kPB=﹣1，

則△PMN是等腰直角三角形，則MN=2xP=4，

線段MN的長度4．

【解析】（1）由題意可知a2=4b2 ， ab=4，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線l方程，代入橢圓方程，由韋達定理，直線的斜率公式求得kPA+kPB=0，則△PMN是等腰直角三角形，則MN=2xP=4，即可求得線段MN的長度．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．