Question

【題目】已知函數．

(1)當，求的單調區間；

(2)若有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)將a=1代入函數，再求導即可得單調區間；(2)法一：先對函數求導：當時，在上是減函數，在上是增函數，且x=1為的極值點，當 所以，，當，所以此時有兩個零點；當時，函數只有一個零點；當時，再分成三種情況， ，三種情況進行討論，最后取并集即得a的范圍。法二：分離參變量，每一個a對應兩個x，根據新構造的函數單調性和值域，找到相應滿足條件的a的范圍即可。

(1) 當

令，可得，

當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增。

所以函數減區間在區間，增區間

(2) 法一：函數定義域為，，

則

⑴當時，令可得，

當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增。

且，當；當 所以

所以有兩個零點.，符合

⑵當，只有一個零點2，所以舍

⑶設，由得或，

①若，則，所以在單調遞增，所以零點至多一個.（舍）

②若，則，故時，，當時，，所以在，單調遞增，在單調遞減。又，要想函數有兩個零點，必須有，其中.

又因為當時，，所以

故只有一個零點，舍

③若，則，故時，，；當時，，所以在，單調遞增，在單調遞減。又極大值點，所以只有一個零點在（舍）

綜上，的取值范圍為。

法二：

，所以不是零點.

由，變形可得.

令，則，

即.

當，；當，.

所以在遞增；在遞減.

當時,,當時，.所以當時，值域為.

當時,,當時，.所以當時，值域為.

因為有兩個零點，故的取值范圍是

故的取值范圍是.