Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數．現給出下列命題：
①函數f（x）=2^-x為R上的1高調函數；
②函數f（x）=sin2x不是R上的π高調函數；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，那么實數m 的取值范圍是[2，+∞）；
④函數f（x）=lg（|x-2|+1）為[1，+∞）上的2高調函數．
其中真命題為

③④

（填序號）．

Answer 1

分析：①函數f（x）=2^-x為R上的遞減函數，可判斷①的正誤；
②由正弦函數的性質知函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，從而可判斷②的正誤；
③函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，只有[-1，1]上至少需要加2，從而可求實數m 的取值范圍；
④f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），知函數f（x）=lg（|x-2|+1）為[1，+∞）上的2高調函數，從而可知④的正誤．

解答：解：①∵函數f（x）=2^-x為R上的遞減函數，故不存在x+l∈D，使得f（x+l）≥f（x），故①不正確；
②∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，故②錯誤；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，
只有[-1，1]上至少需要加2，
∴實數m的取值范圍是[2，+∞），故③正確；
④∵f（x）=lg（|x-2|+1），x∈[1，+∞），
∴f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），
∴函數f（x）=lg（|x-2|+1）為[1，+∞）上的2高調函數，故④正確；
綜上可知，真命題為③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查基本初等函數的性質，是一個特新定義問題，注意對于條件中所給的一個新的概念，要注意理解，考查抽象思維與綜合運算能力，屬于難題．