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已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時f（x）的最小值為
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若對任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求實數m的取值范圍．
（1）∵
m
+
n
=(
3
sinωx+cosωx，-sinωx)，
∴f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t=
3
sinωx(
3
sinωx+cosωx)+t 
=3sin2ωx+
3
sinωxcosωx+t=
3(1-cos2ωx)
2
+
3
2
sin2ωx+t=
3
2
sin2ωx-
3
2
cos2ωx+
3
2
+t=
3
sin(2ωx-
π
3
)+
3
2
+t，
由題意可得
T
4
=
π
4
，∴ω=1． 
∵0≤x≤
π
3
，∴-
π
3
≤2x-
π
3
≤
π
3
．
 又f（x）的最小值為
3
2
=
3
×（-
3
2
）+
3
2
+t，
∴t=
3
2
，
故 f(x)=
3
sin(2x-
π
3
)+3．
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，可得-
π
6
+2kπ≤2x≤
5π
6
+2kπ，k∈Z，
∴-
π
12
+kπ≤x≤
5π
12
+kπ，k∈Z，
即單調遞增區間為：[-
π
12
+kπ，
5π
12
+kπ]，k∈Z．
（3）當x∈[0，
π
3
]時，f（x）的最大值為 
3
×（
3
2
）+
3
2
+
3
2
=
9
2
，最小值為
3
2
，
∴|f（x1）-f（x2）|的最大值為
9
2
-
3
2
=3．
∵對任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，
∴m＞3，即實數m的取值范圍為（3，+∞）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(-1，cosωx+
3
sinωx)，
n
=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且
m
⊥
n
，又函數f（x）的圖象任意兩相鄰對稱軸間距為
3
2
π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）設α是第一象限角，且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
，求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函數f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時，f（x）的最大值為
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx)，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，函數f(x)=
a
•
b
+
1
2
（ω＞0）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為
π
4
，且當x∈[0，
π
3
]時f（x）的最小值為
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若對任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求實數m的取值范圍．

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