Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，試證明f（x）必有兩個零點；
（2）若對x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不等實根，證明必有一實根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）由條件得到a＞0，c＜0，判別式△=b²-4ac≥-4ac＞0，從而證得方程ax²+bx+c=0有兩個不等實根．
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁ ）+f（x₂）]，證明g（x₁）•g（x₂）＜0，可得g（x）=0在（x₁，x₂）內必有一實根，
問題得證．

解答：證明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．
又∵△=b²-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax²+bx+c=0有兩個不等實根．
所以，函數f（x）必有兩個零點．
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

f(x1)-f(x2)

2

，
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=-

f(x1)-f(x2)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=

f(x1)-f(x2)

2

•

f(x2)-f(x1)

2

=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²．
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0．
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內必有一實根．
∴方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）內必有一實根．
再由 g（x₁）•g（x₂）＜0可得二次函數g（x）的函數值可正可負，
故函數g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的圖象與x軸一定有兩個交點，
故方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不等實根．
綜上可得，方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不等實根，且必有一實根屬于（x₁，x₂）．

點評：本題考查二次函數的性質，方程的根就是對應函數的零點，以及函數零點存在的條件，屬于中檔題．