Question

為抗擊金融風暴，某工貿系統決定對所屬企業給予低息貸款的扶持.該系統先根據相關評分標準對各個企業進行了評估，并依據評估得分將這些企業分別評定為優秀、良好、合格、不合格4個等級，然后根據評估等級分配相應的低息貸款金額，其評估標準和貸款金額如下表：

評估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
評定類型	不合格	合格	良好	優秀
貸款金額（萬元）	0	200	400	800

為了更好地掌控貸款總額，該系統隨機抽查了所屬部分企業的評估分數，得其頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）估計該系統所屬企業評估得分的中位數；

（Ⅱ）該系統要求各企業對照評分標準進行整改，若整改后優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量依次成等差數列，系統所屬企業獲得貸款的均值(即數學期望)不低于410萬元，那么整改后不合格企業占企業總數的百分比的最大值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）68.75

（Ⅱ）10%

解析:

（Ⅰ）因為，，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的面積相等，所以中位數在區間[60，70）內。                                （2分）

設中位數為x，則，解得x＝8.75。                              （4分）

估計該系統所屬企業評估得分的中位數是68.75。                                （5分）

（Ⅱ）據題意，整改后優秀企業的頻率為10×0.025＝0.25，不合格企業，合格企業，良好企業的頻率成等差數列。                                                           （6分）

設該等差數列的首項為a，公差為d，則3a＋3d＝1－0.25＝0.75，即a＋d＝0.25。    （8分）

設該系統所屬企業獲得貸款的均值為Eξ，則

Eξ＝a×0＋(a＋d)×200＋(a＋2d)×400＋0.25×800

＝0.25×200＋(0.25＋d)×400＋0.25×800＝400d＋350＝450－400a。            （10分）

由Eξ≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1。                                 （11分）

故整改后不合格企業占企業總數的百分比的最大值是10%。                      （12分）