Question

【題目】如圖，已知橢圓過點，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，，且，求直線過定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入橢圓方程，結合離心率和的關系即可求得結果；（Ⅱ）當直線斜率不存在時，根據可求得直線方程為；當直線斜率存在時，設直線為，與橢圓方程聯立可得韋達定理的形式；將韋達定理代入中可整理得，從而可知直線恒過定點；又也過點，從而可知即為所求定點.

（Ⅰ）橢圓過點

代入可得：

又，，解得：

所求橢圓的方程為：

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，設直線方程為

則，，則，

當直線的斜率存在時，設直線方程為：

與橢圓方程聯立得：

設，，則有（*）

將（*）式代入，化簡可得：

即

直線

直線過定點的坐標是

綜上所述：直線過定點