Question

【題目】已知拋物線焦點為，直線過與拋物線交于兩點.到準線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點縱坐標為，直線分別交準線于.求證：以為直徑的圓過焦點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意及拋物線定義，可知，從而可求出拋物線方程；

（2）當直線與軸垂直時，求出，的坐標，進而證得以為直徑的圓過焦點；當直線與軸不垂直時，設出直線方程，點和點坐標，并與拋物線方程聯立，

借助根與系數的關系以及向量數量積的坐標表示，證得，從而證出以為直徑的圓過焦點.

（1）到準線的距離之和等于到焦點的距離之和，即為，

最小為通徑，所以，解得，

所以拋物線方程為.

（2）拋物線焦點，準線方程：，

由點縱坐標為，得，

當直線與軸垂直時，

直線方程為，此時，， ，

直線：，直線：，

所以，，，

所以，圓心坐標為，半徑，

焦點到圓心的距離，

此時，以為直徑的圓過焦點.

當直線與軸不垂直時，

設直線，設，

，得，，，

直線為代入準線得：

同理可得

，

所以，所以焦點在以為直徑的圓上.

綜上，以為直徑的圓過焦點.