Question

【題目】設函數

（1）若在點處的切線斜率為，求的值；

（2）求函數的單調區間；

（3）若，求證：在時， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時， 的單調減區間為.單調增區間為；

當時， 的單調減區間為；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出，通過在點處的切線斜率，可得，解得；（2）由（1）知： ，結合導數分①、②兩種情況討論分別令求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間；；（3）通過變形，只需證明即可，利用，根據指數函數及冪函數的性質、函數的單調性及零點判定定理即得到結論.

試題解析：（1）若在點處的切線斜率為，

，

得.

（2）由

當時，令解得：

當變化時， 隨變化情況如表：

由表可知： 在上是單調減函數，在上是單調增函數

當時， ， 的單調減區間為

所以，當時， 的單調減區間為.單調增區間為

當時， 的單調減區間為

（3）當時，要證，即證

令，只需證

∵

由指數函數及幕函數的性質知： 在上是增函數

∵，∴在內存在唯一的零點，

也即在上有唯一零點

設的零點為，則，即，

由的單調性知：

當時， ， 為減函數

當時， ， 為增函數，

所以當時.

∴.