Question

設函數在[1，+∞）上是增函數．
（1）求正實數a的取值范圍；
（2）設b＞0，a＞1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數，因為函數在[1，+∞）上是增函數，即導函數大于等于0對x屬于[1，+∞）恒成立，令導函數大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒數，求出x倒數的最大值即可得到實數a的范圍；
（2）設x等于，由b大于0，a大于1，得出大于1，根據函數在[1，+∞）上是增函數，得到f（）大于f（1），化簡可得；設G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的導函數，根據x大于1得到導函數大于0，所以G（x）為增函數，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到，綜上，得證．
解答：解：（1）對x∈[1，+∞）恒成立，
∴對x∈[1，+∞）恒成立，
又，
∴a≥1為所求；
（2）取，
∵，
一方面，由（1）知在[1，+∞）上是增函數，
∴
∴
即；
另一方面，設函數G（x）=x-lnx（x＞1），
，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函數且在x=x處連續，又G（1）=1＞0，
∴當x＞1時，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即，
綜上所述，．
點評：此題考查學生會利用導數研究函數的單調性，靈活運用函數的單調性解決實際問題，是一道綜合題．