Question

某生產飲料的企業擬投入適當的廣告費對產品進行促銷,在一年內,預計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數關系為Q=(x≥0).已知生產此產品的年固定投入為3萬元,每生產1萬件此產品需再投入32萬元.若每件售價為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和.

(1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數.如果年廣告費投入100萬元,企業是虧損還是盈利?

(2)當年廣告費投入多少萬元時,企業年利潤最大?

Answer 1

思路分析：因為年利潤y=(年收入)-(年成本)-(年廣告費)，所以就把年利潤表示成年廣告費的函數關系式.利用導數求出最值.

解：(1)由題意,每年產銷Q萬件,共計成本為(32Q+3)萬元.

銷售收入是(32Q+3)·150%+x·50%.

∴年利潤y=(年收入)-(年成本)-(年廣告費)=(32Q+3-x)=(32×+3-x)=(x+1)(x≥0).

∴所求的函數關系式為y=(x+1)(x≥0).

當x=100時,y＜0,即當年廣告費投入100萬元時,企業虧損.

(2)由y=(x+1)(x≥0)可得

y′==0.

令y′=0,則x²+2x-63=0.

∴x=-9(舍去)或x=7.

又x∈(0,7)時,f′(x)＞0；x∈(7,+∞)時,f′(x)＜0,

∴f(x)_極大值=f(7)=42.

又∵在(0,+∞)上只有一個極值點,

∴f(x)_max=f(x)_極大值=f(7)=42.

故當年廣告費投入7萬元時,企業年利潤最大.