Question

【題目】已知函數.

（1）若在是單調函數，求的值；

（2）若對，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，并求出方程的兩根，，然后分、、三種情況討論，分析在區間的符號，結合題意可得出實數的值；

（2）分、、和四種情況討論，分析函數在區間上的單調性，得出在上恒成立的等價條件為，然后在平面直角坐標系內作出可行域，利用平移直線的方法求出的取值范圍.

（1），，

令，解得，．

①當時，，函數在上單調遞增，在上也單調遞增；

②當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則函數在上不是單調函數，不符合題目要求；

③當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

則函數在上不是單調函數，不符合題目要求；

綜上所述，；

（2）以導函數的兩個零點為界點討論：

①當時，在上單調遞增，在上恒成立；

②當時，，函數在上單調遞減．在上單調遞增，在上恒成立；

③當時，，函數在上單調遞增，

則函數在上單調遞減，在上恒成立；

④當時，函數在上單調遞增，

則函數在上單調遞增，在上恒成立；

綜合①②③④，在上恒成立.

在平面直角坐標系中作出不等式組表示的平面區域（可行域）如下圖：

設，

則，當直線經過點時，截距最大，此時最大值，由解得最優解，則.

當直線向軸負方向無限平移時，截距，此時．

所以，的取值范圍是.