【題目】正三棱柱
（底面是正三角形，側棱垂直底面）的各條棱長均相等，
為
的中點，
、
分別是
、
上的動點（含端點），且滿足
.當、運動時，下列結論中正確的個數是（ ）
①平面
平面
；
②三棱錐
的體積為定值；
③
可能為直角三角形；
④平面
與平面
所成的銳二面角范圍為
.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①由
得線段MN必過正方形
的中心O，則
平面，推出面面垂直；②由
的面積不變，點N到平面
的距離不變得到三棱錐
的體積為定值；③利用反證法說明
不可能為直角三角形；④設三棱柱棱長為a，
，建立空間直角坐標系，利用向量法表示出平面
與平面
所成二面角的余弦值，根據t的范圍求出
的范圍即可求得兩平面所成銳二面角的范圍.
①如圖當M、N分別在
、
上運動時，若滿足，則線段MN必過正方形的中心O，而平面，所以平面
平面，①正確；
②當M、N分別在、上運動時，的面積不變，點N到平面的距離不變，所以棱錐
的體積不變，即三棱錐的體積為定值，②正確；
③設三棱柱棱長為a，
，由易知
且
，
，
若為直角三角形則
，
，
所以
，化簡得
，
解得
或
，均不符合題意，所以不可能為直角三角形，③錯誤；
④建立如圖所示空間直角坐標系：
設三棱柱棱長為a，，則
，
，
設
為平面DMN的法向量，則
，
令
可得平面DMN的一個法向量為
，
易知
為平面ABC的一個法向量，
設平面與平面所成二面角為
，則
，
因為
，所以
，
所以平面與平面所成的銳二面角范圍為
，④正確.
故選：C
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】鳳鳴山中學的高中女生體重
(單位：kg)與身高
(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據
（
），用最小二乘法近似得到回歸直線方程為
，則下列結論中不正確的是（ ）
A.與具有正線性相關關系
B.回歸直線過樣本的中心點
C.若該中學某高中女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg
D.若該中學某高中女生身高為160cm，則可斷定其體重必為50.29kg.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以直角坐標系
的原點為極坐標系的極點，
軸的正半軸為極軸．已知曲線
的極坐標方程為
，
是上一動點，
，點
的軌跡為
．
（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；
（2）若點
，直線
的參數方程
（
為參數），直線與曲線的交點為
，當
取最小值時，求直線的普通方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國家文明城市評審委員會對甲、乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調查，派出10人的調查組，先后到甲、乙兩個城市的街道、社區進行問卷調查，然后打分（滿分100分），他們給出甲、乙兩個城市分數的莖葉圖如圖所示：
（1）請你用統計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”，并說明理由；
（2）從甲、乙兩個城市的打分中各抽取2個，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分數都小于80分的概率．
（參考數據：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是南北方向的一條公路，
是北偏東
方向的一條公路，某風景區的一段邊界為曲線
．為方便游客光，擬過曲線上的某點分別修建與公路，垂直的兩條道路
，
，且，的造價分別為5萬元
百米，40萬元百米，建立如圖所示的直角坐標系
，則曲線符合函數
模型，設
，修建兩條道路，的總造價為
萬元，題中所涉及的長度單位均為百米．
（1）求解析式；
（2）當
為多少時，總造價最低？并求出最低造價．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是
且邊長為
的菱形，側面
為正三角形，其所在平面垂直于底面.
（1）若
為
邊的中點，求證：
平面.
（2）求證：
.
（3）若
為
邊的中點，能否在
上找出一點
，使平面 
平面？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下三個命題：①在勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③對分類變量
與
的隨機變量
的觀測值
來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數為（ ）
A.3B.2C.1D.0
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校為調查學生喜歡“應用統計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的60名學生，得到數據如下表：
喜歡統計課程 | 不喜歡統計課程 | 合計 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 30 | 30 | 60 |
（1）判斷是否有99.5％的把握認為喜歡“應用統計”課程與性別有關？
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選3人，求恰有2個男生和1個女生的概率．
下面的臨界值表供參考：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
）
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