【題目】正三棱柱(底面是正三角形,側棱垂直底面)的各條棱長均相等,
為
的中點,
、
分別是
、
上的動點(含端點),且滿足
.當
、
運動時,下列結論中正確的個數是( )
①平面平面
;
②三棱錐的體積為定值;
③可能為直角三角形;
④平面與平面
所成的銳二面角范圍為
.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①由得線段MN必過正方形
的中心O,則
平面
,推出面面垂直;②由
的面積不變,點N到平面
的距離不變得到三棱錐
的體積為定值;③利用反證法說明
不可能為直角三角形;④設三棱柱棱長為a,
,建立空間直角坐標系,利用向量法表示出平面
與平面
所成二面角的余弦值,根據t的范圍求出
的范圍即可求得兩平面所成銳二面角的范圍.
①如圖當M、N分別在、
上運動時,若滿足
,則線段MN必過正方形
的中心O,而
平面
,所以平面
平面
,①正確;
②當M、N分別在、
上運動時,
的面積不變,點N到平面
的距離不變,所以棱錐
的體積不變,即三棱錐
的體積為定值,②正確;
③設三棱柱棱長為a,,由
易知
且
,
,
若為直角三角形則
,
,
所以,化簡得
,
解得或
,均不符合題意,所以
不可能為直角三角形,③錯誤;
④建立如圖所示空間直角坐標系:
設三棱柱棱長為a,,則
,
,
設為平面DMN的法向量,則
,
令可得平面DMN的一個法向量為
,
易知為平面ABC的一個法向量,
設平面與平面
所成二面角為
,則
,
因為,所以
,
所以平面與平面
所成的銳二面角范圍為
,④正確.
故選:C
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】鳳鳴山中學的高中女生體重 (單位:kg)與身高
(單位:cm)具有線性相關關系,根據一組樣本數據
(
),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為
,則下列結論中不正確的是( )
A.與
具有正線性相關關系
B.回歸直線過樣本的中心點
C.若該中學某高中女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D.若該中學某高中女生身高為160cm,則可斷定其體重必為50.29kg.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系的原點為極坐標系的極點,
軸的正半軸為極軸.已知曲線
的極坐標方程為
,
是
上一動點,
,點
的軌跡為
.
(1)求曲線的極坐標方程,并化為直角坐標方程;
(2)若點,直線
的參數方程
(
為參數),直線
與曲線
的交點為
,當
取最小值時,求直線
的普通方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】國家文明城市評審委員會對甲、乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調查,派出10人的調查組,先后到甲、乙兩個城市的街道、社區進行問卷調查,然后打分(滿分100分),他們給出甲、乙兩個城市分數的莖葉圖如圖所示:
(1)請你用統計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”,并說明理由;
(2)從甲、乙兩個城市的打分中各抽取2個,在已知有大于80分的條件下,求抽到乙城市的分數都小于80分的概率.
(參考數據:,
)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,是南北方向的一條公路,
是北偏東
方向的一條公路,某風景區的一段邊界為曲線
.為方便游客光,擬過曲線
上的某點分別修建與公路
,
垂直的兩條道路
,
,且
,
的造價分別為5萬元
百米,40萬元
百米,建立如圖所示的直角坐標系
,則曲線符合函數
模型,設
,修建兩條道路
,
的總造價為
萬元,題中所涉及的長度單位均為百米.
(1)求解析式;
(2)當為多少時,總造價
最低?并求出最低造價.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面
是
且邊長為
的菱形,側面
為正三角形,其所在平面垂直于底面
.
(1)若為
邊的中點,求證:
平面
.
(2)求證:.
(3)若為
邊的中點,能否在
上找出一點
,使平面
平面
?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】以下三個命題:①在勻速傳遞的產品生產流水線上,質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測,這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個變量的線性相關性越強,則相關系數的絕對值越接近于1;③對分類變量與
的隨機變量
的觀測值
來說,
越小,判斷“
與
有關系”的把握越大;其中真命題的個數為( )
A.3B.2C.1D.0
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校為調查學生喜歡“應用統計”課程是否與性別有關,隨機抽取了選修課程的60名學生,得到數據如下表:
喜歡統計課程 | 不喜歡統計課程 | 合計 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 30 | 30 | 60 |
(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統計”課程與性別有關?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查,將這6名學生作為一個樣本,從中任選3人,求恰有2個男生和1個女生的概率.
下面的臨界值表供參考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中
)
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