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已知函數f（x）=x2-tlnx的圖象在點（1，f（1））處的切線方程是y=kx+7．
（1）試確定函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=-x2+14x，且f（x）與g（x）在區間（a，a+2）上均為單調增函數，求a的取值范圍．
分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，得到切線的斜率，以及切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出t的值從而得出函數f（x）的解析式；
（2）由題意：“f（x）與g（x）在區間（a，a+2）上均為單調增函數”知：在函數的區間（a，a+2）上不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0恒成立，利用恒成立得到關于a的不等關系確定a的取值范圍．
解答：解：（1）f（1）=12-tln1=1，于是切線y=kx+7 過點（1，1），所以1=k+7∴k=-6 f/(x)=2x-
t
x
，∴k=f′（1）=2-t=-6∴t=8．所以f（x）=x2-8lnx
（2）∵f′(x)=
2(x+2)(x-2)
x
，且x＞0，∴x＞2 時，f′（x）＞0，當0＜x＜2 時，f′（x）＜0．即f（x） 在（2，+∞） 上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，又g（x）=-（x-7）2+49 所以g（x） 在（-∞，7）單調遞 增，所以
a≥2
a+2≤7
，所以2≤a≤5
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值等基礎題知識．已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，則可得f′（x）≤0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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