Question

【題目】已知曲線C的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C經過伸縮變換得到曲線E，直線（t為參數）與曲線E交于A，B兩點．

（1）設曲線C上任一點為，求的最小值；

（2）求出曲線E的直角坐標方程，并求出直線l被曲線E截得的弦AB長．

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）由，得出曲線C的直角坐標方程，進而得出曲線C的參數方程，利用參數方程，設出的坐標，結合正弦函數的性質，即可得出答案；

（2）由伸縮變換得出曲線的直角坐標方程，將直線的參數方程可化為標準形式，并代入曲線的直角坐標方程，結合直線參數方程參數的幾何意義，即可得出.

解：（1）根據，進行化簡得

∴曲線C的參數方程（為參數）

設

∴

則當，即時，取最小值為

（2）∵，∴

代入C得．

將直線的參數方程可化為標準形式（t為參數）

代入曲線E方程得：（A，B處對應的參數為，）

∴

∴．