Question

【題目】已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：x﹣2y+3 =0相切，點A為圓上一動點，AM⊥x軸于點M，且動點N滿足 ，設動點N的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于不同兩點A，B，且滿足 （O為坐標原點），求線段AB長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動點N（x，y），A（x0 ， y0），
∵AM⊥x軸于點M，∴M（x0 ， 0），
設圓C1 的方程為x2+y2=r2 ， 由題意得 ，
∴圓C1 的方程為x2+y2=9．
由題意， ，得 ，
∴ ，即 ，
將A（ ）代入x2+y2=9，得動點N的軌跡方程為 ；
（Ⅱ）①假設直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+m，
聯立 ，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
∴△=64k2﹣8m2+32＞0．
，（*）
∵ ，∴ ，則x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
化簡可得， ．
將（*）代入可得3m2=8k2+8．
又∵|AB|= ．
將 代入，可得 =
= ．
∴當且僅當 ，即 時等號成立．
又由 ，∴|AB| ．
∴ ．
②若直線l的斜率不存在，則OA所在直線方程為y=x，
聯立 ，解得A（ ），
同理求得B（ ），
求得 ．
綜上，得
【解析】（Ⅰ）設出動點N（x，y），A（x0 ， y0），M（x0 ， 0），由題意求圓C1的方程，結合已知 ，把A的坐標用N的坐標表示，代入圓的方程求得橢圓C的方程；（Ⅱ）假設直線l的斜率存在時，設其方程為y=kx+m，聯立直線方程和橢圓方程，利用 ，結合根浴系數的關系得到3m2=8k2+8．再利用弦長公式求得弦AB的長，利用基本不等式及函數的性質求得|AB|的范圍；若直線l的斜率不存在，直接求出A，B的坐標得到|AB|的值，則線段AB長度的取值范圍可求．