Question

已知函數f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）在（1，2）上為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，得f′（x）=1-

a

x2

，由于a∈R，分a=0，a＜0，a＞0三類研究函數的單調性即可．
（2）由（1）的結論，討論在哪些情況下函數的導數在（1，2）上符號恒正或者恒負即可．

解答：解：求導得：f′（x）=1-

a

x2

，
（1）f′（x）≥0，
當a=0時，f′（x）=1，函數是增函數；
當a＜0時，f′（x）=1-

a

x2

＞0，故函數在（-∞，0）與（0，+∞）上都是增函數
當a＞0時，f′（x）=1-

a

x2

＞0，得x＞

a

或x＜-

a

故函數在（-∞，-

a

）與（

a

，+∞）上都是增函數，在（-

a

，0）與（0，

a

）都是減函數．
（2）函數f（x）在（1，2）上為單調函數
由（1）知a≤0時，滿足題意，
當a＞0時，函數在（

a

，+∞）上是增函數，在（0，

a

）是減函數，故當

a

≤1或

a

≥2時，符合題意解得0＜a≤1或a≥4，
綜上，符合條件的實數a的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）

點評：本題利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題（1）屬于第一種類型．（2）屬于第二種題型．