Question

設二次函數y=f（x）的圖象過原點，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍．

Answer 1

分析：由二次函數y=f（x）的圖象過原點，設出二次函數解析式為f（x）=ax²+bx（a≠0），把f（-1）和f（1）用含有a，b的代數式表示，聯立關于a，b的方程組解出a，b，然后把f（-2）也用含有a，b的代數式表示，最后轉化為用f（-1）和f（1）表示，由f（-1）和f（1）的范圍求得f（-2）的范圍．

解答：解：∵二次函數y=f（x）的圖象過原點，
∴設f（x）=ax²+bx（a≠0），
又

f(-1)=a-b f(1)=a+b

，
得

a= 1 2 [f(-1)+f(1)] b= 1 2 [f(1)-f(-1)]

，
∴f（-2）=4a-2b=4×

1

2

[f（-1）+f（1）]-2×

1

2

[f（1）-f（-1）]=3f（-1）+f（1），
又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，
即5≤f（-2）≤10．
∴f（-2）的取值范圍是[5，10]．

點評：本題考查了函數值的求法，訓練了利用不等式求函數的值的范圍，解答此題的關鍵是把f（-2）轉化為含有
f（-1）和f（1）的表達式，此題是易錯題，學生往往會直接由f（-1）和f（1）的范圍聯立求出a和b的范圍，然后把f（-2）用a和b的代數式表示，由a和b的范圍求解f（-2）的范圍，忽略了其中a和b是相關聯的．