Question

直線y=k（x-2）+4與曲線y=

4-x2

有兩個交點，則實數k的取值范圍為

(

3

4

，1]

．

Answer 1

分析：由直線方程的特點得到此直線恒過A（2，4），由曲線方程的特點得到曲線為一個半圓，在平面直角坐標系中畫出相應的圖形，根據直線與半圓有2個交點，取兩個特殊情況：當直線與半圓相切，且切點在第二象限時，可得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值；當直線過點C時，將C的坐標代入直線方程，得到關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值，由圖象可得出滿足題意k的取值范圍．

解答：解：直線y=k（x-2）+4，
當x=2時，y=4，可得此直線恒過A（2，4），
曲線y=

4-x2

為圓心在坐標原點，半徑為2的半圓，
根據題意作出相應的圖形，如圖所示：

當直線y=k（x-2）+4與半圓相切（切點在第二象限）時，圓心到直線的距離d=r，
∴

|4-2k|

1+k2

=2，即4k²-16k+16=4+4k²，
解得：k=

3

4

，
當直線y=k（x-2）+4過點C時，將x=-2，y=0代入直線方程得：-4k+4=0，
解得：k=1，
則直線與曲線有2個交點時k的范圍為（

3

4

，1]．
故答案為：（

3

4

，1]

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，利用了數形結合的數學思想，直線與圓的位置關系由d與r的大小來判斷（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑），當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交．