Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點，設線段AB的中點為Q．若拋物線C上存在一點到焦點F的距離等于3．則下列說法正確的是（ ）

A.拋物線的方程是B.拋物線的準線是

C.的最小值是D.線段AB的最小值是6

Answer 1

【答案】BC

【解析】

求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義可得p，進而得到拋物線方程和準線方程；求得，設，，直線l的方程為，聯立拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式可得線段AB的最小值，可得圓Q的半徑，由中點坐標公式可得Q的坐標，運用直角三角形的銳角三角函數的定義，可得所求的最小值.

拋物線的焦點為，得拋物線的準線方程為，

點到焦點的距離等于3，可得，解得，

則拋物線的方程為，準線為，故A錯誤，B正確；

由題知直線的斜率存在，，

設，，直線的方程為，

由，消去得，

所以，，

所以，所以AB的中點Q的坐標為，

，故線段AB的最小值是4，即D錯誤；

所以圓Q的半徑為，

在等腰中，，

當且僅當時取等號，

所以的最小值為，即C正確，

故選：BC.