Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，設點，，為拋物線上的動點（異于頂點），連結并延長交拋物線于點，連結、并分別延長交拋物線于點、，連結，設、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關的常數，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）2；（2）.

試題分析：（1）依題意求直線的方程，設兩點的坐標分別為，聯立方程組消去得到關于的方程，由韋達定理求出
，在根據弦長公式求解；（2）設求直線的方程代入拋物線方程，消去得到關于的方程，找到的關系是，用表示點的坐標，同理用表示點的坐標，由于三點共線，找到的關系，最后用斜率公式求，整理即得.
試題解析：(1)直線，設





           4分
（2）設
則直線的方程為：，代入拋物線方程，
整理得，
，即
從而，故點
同理，點          8分
三點共線


即
整理得
所以，

即                   13分