Question

如圖，在半徑為2，圓心角為45°的扇形的AB弧上任取一點P，作扇形的內接平行四邊形MNPQ，使點Q在OA上，點M，N在0B上，設∠BOP=θ，?MNPQ的面積為S，求S與θ之間的函數關系式；并求S的最大值及相應的θ值．

Answer 1

解：過P點作PL垂直于OB于L，過Q點作QH垂直于OB于H
則HL=QP=MN，QH=PL
OH=QH×cot∠AOB=QH
OL=OP×cosθ
PL=OP×sinθ
于是
S=PL×MN
=OP×sinθ×（OP×cosθ-OP×sinθ）
=4sinθ×（cosθ-sinθ）
=4[（sin2θ-（1-cos2θ）]
=2（sin2θ+cos2θ-1） （0＜θ＜45°）
則S=2（sin2θ+cos2θ-1）=2[sin（2θ+45°）-1]≤2-2
當S=2-2時，2θ+45°=90°，θ=22.5°
分析：過P點作PL垂直于OB于L，過Q點作QH垂直于OB于H，則可分別表示出OH，OL和PL，代入平行四邊形的面積公式中，利用三角函數的二倍角公式和兩角和公式化簡整理求得S與θ之間的函數關系式，然后利用正弦函數的性質求得S的最大值和相應θ的值．
點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題．考查了學生知識的掌握和遷移的能力．