Question

在△ABC中，已知cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
（1）求角C的大�。�
（2）若△ABC最大邊的邊長為

10

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的關系，算出sinA=

5

5

且sinB=

10

10

，結合兩角和的余弦公式和誘導公式得到cosC=-sin（A+B）=-

2

2

，結合C為三角形的內角可得C=135°；
（2）由題意得c為最大邊等于

10

，根據正弦定理分別算出a、b的長度，再利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△ABC的面積．

解答：解：（1）∵△ABC中，已知cosA=

2 5

5

，cosB=

3 10

10

．
∴A、B都是銳角，且sinA=

1-cos 2A

=

5

5

，sinB=

1-cos 2B

=

10

10

因此，cosC=-sin（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

結合C為三角形的內角，可得C=135°；
（2）∵C是鈍角，可得c為最大邊
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得a=

csinA

sinC

=

10 • 5 5

2 2

=2
同理算出b=

2

，
因此，△ABC的面積為S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

2

×sin135°=1．

點評：本題給出三角形的兩個角的余弦，求第三個角并依此求三角形的面積．著重考查了正弦定理、同角三角函數的關系和誘導公式、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．