Question

函數f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2(x∈R)的單調減區間是

[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

．

Answer 1

分析：把函數解析式的第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡后，再利用誘導公式變形，去括號合并后，提取4，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調減區間為[2kπ-+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的單調減區間．

解答：解：f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2
=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-2
=4（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=4sin（2x-

π

3

），
當2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

時，
正弦函數sin（2x-

π

3

）單調遞減，
則函數f（x）的單調減區間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
故答案為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．